También llamada función afín o función polinómica de primer grado, la función lineal es la que presenta la forma f(x) = mx + b (o y = mx + b), donde m y b representan números reales y m ≠ 0. Las funciones de este tipo se llaman así porque el mayor exponente de la variable x es 1.
Características
Expresión matemática
Una función lineal viene dada por la siguiente expresión:
Nombres
En una función de primer grado, el número real que corresponde a m siempre se multiplica por x, recibiendo el nombre de término lineal, mientras que b es el término independiente.
El coeficiente m no puede ser igual a 0 porque, multiplicando x por 0 tendremos, evidentemente, 0, por lo que la función tomará la forma f(x) = b, no pudiendo ser definida como función de primer grado.
Pendiente y ordenada
La pendiente es un número real que mide la inclinación de la recta y está representado por m y la ordenada representa el punto de corte con el eje y o eje de ordenadas y es el número b.
Dominio e imagen
El dominio e imagen de las funciones lineales corresponden a todos los números reales, ya que no hay restricciones en la fórmula y=mx+b.
Función creciente y decreciente
Cuando m > 0 (positivo), la función mx + b será de tipo creciente, es decir, el valor de f(x) aumenta a medida que aumenta el valor de x.
Por otro lado, cuando m < 0 (negativo), la función será decreciente, es decir, cuando el valor de x aumenta, el valor de f(x) disminuye.
Gráfico
El gráfico que representa una función de primer grado es siempre una recta, que crecerá si el coeficiente m es positivo y decrecerá si es negativo, tal como se mencionó anteriormente.
En esta representación gráfica, el coeficiente b determinará el punto de corte o intersección con el eje vertical (eje y).
Función identidad
La función identidad es un caso particular de función lineal en donde m = 1 y b = 0, siendo f(x)=x o y=x.
Cómo graficar
Si te fijas en la expresión de arriba, puedes ver que la línea en el gráfico crecerá, porque m es positivo. En la función, el valor de b es -3, por lo que el eje vertical se cortará en el punto -3.
Para determinar el punto en el que se cortará con el eje horizontal, necesitamos calcular la raíz o cero de la función, que corresponde al valor de x capaz de hacer f(x) igual a 0, que en este caso es 3/2.
Entonces tenemos el gráfico de la función f(x) = 2x – 3:
Para graficar la función, también podemos asignar dos valores cualesquiera a x y luego calcular los valores que equivalen a f(x). En la función f(x) = ½ x + 1, eligiendo a x=0 y x=4, tenemos el siguiente gráfico:
Observa en el gráfico que cuando x vale 0, f(x) vale 1 (½ . 0 + 1 = 1), mientras que cuando x vale 4, f(x) vale 3 ( ½ . 4 + 1 = 3). Independientemente del valor que tome x, la función siempre expresará el valor de f(x) como una función de x.
En la práctica, podemos utilizar funciones de primer grado cuando un valor se da en función de otro.
Problema
En los Estados Unidos, las temperaturas se dan en grados Fahrenheit (°F), a diferencia de otros países donde se utiliza la escala Celsius (°C). Para convertir un valor de temperatura de Fahrenheit a Celsius, simplemente hay que aplicar la siguiente fórmula:
Sabiendo que el punto de fusión del agua es de 0 °C y que el punto de ebullición es de 100 °C, determine los valores correspondientes gráficamente en °F.
Resolución
Ten en cuenta que esto es una función de primer grado:
Para encontrar los valores en Fahrenheit, solo reemplaza y por 0 y 100.
En el gráfico de esta función, la línea debe pasar por los puntos (32, 0) y (212, 100), luego tenemos:
En esta función, el término lineal es 5/9, mientras que el término independiente es -160/9.