Las funciones trigonométricas son funciones angulares que se obtienen mediante la circunferencia trigonométrica.
- Función seno
- Función coseno
- Función tangente
Dado un número real cualquiera x y un punto P en la circunferencia trigonométrica, asociamos este punto con un único valor para las funciones trigonométricas seno y coseno, y las llamaremos sen(x) y cos(x).
Este punto P que se muestra arriba puede ser cualquiera de los valores de la circunferencia trigonométrica, en grados o radianes.
Función seno
La función seno es una función periódica que tiene imagen en el intervalo [-1, 1], es decir, -1 ≤ sen(x) ≤ 1, donde x es un número real.
Dominio
El dominio de la función seno es el conjunto de los números reales, es decir, sen(x) está definida para cualquier real x, entonces el dominio de f(x) = sen(x) es el conjunto R. Por lo tanto: D = R
Imagen
La función sen(x) toma el valor máximo igual a 1, esto ocurre cuando el valor de x es π/2. Y el valor mínimo es igual a -1, cuando x vale 3π/2.
De esta manera, el conjunto de imágenes de la función f(x) = sen(x) es el intervalo [-1, 1], por lo que: Im = [-1, 1].
Gráfico
Construyamos la gráfica de la función poniendo los valores notables en el plano cartesiano. El comportamiento de la función seno es una variación entre -1 y 1, por esta razón el seno se llama función periódica.
Período
El período es el intervalo en el cual se desarrolla la porción principal de la curva. Entonces, el período del seno es 2π.
Paridad
La paridad de la función seno viene dada por sen(-x) = – sen(x). Por tanto, f(x) = sen(x) es impar.
Signo
En la circunferencia trigonométrica la función tiene signo positivo en los cuadrantes I y II, y signo negativo en los cuadrantes III y IV.
En la gráfica podemos ver cuándo la función toma valores negativos, positivos y cero.
Función coseno
La función coseno es también una función periódica que tiene imagen en el intervalo [-1, 1], es decir, para un real x -1 ≤ cos(x) ≤ 1.
Dominio
El dominio de la función coseno es el conjunto de los números reales, es decir, cos(x) está definido para cualquier real x, por lo que el dominio de f(x) = cos(x) es el conjunto R. Así pues: D = R
Imagen
La función cos(x) toma valor máximo igual a 1, que ocurre cuando el valor de x toma el valor 0. Y valor mínimo igual a -1, cuando x toma valor igual a π.
De esta manera, el conjunto imagen para f(x) = cos(x) es el intervalo [-1, 1]. Por lo tanto: Im = [-1, 1]
Gráfico
Utilizando los valores anteriores, podemos construir la gráfica de la función en el plano cartesiano. La función coseno varía entre -1 y 1. También es una función periódica.
Período
El período es el intervalo en el cual se desarrolla un ciclo de la gráfica. Por lo tanto, el período de la función es 2π.
Paridad
La paridad viene dada por cos(-x) = cos(x). Por tanto, f(x) = cos(x) es par.
Signo
En la circunferencia trigonométrica la función coseno tiene signo positivo en los cuadrantes I y IV, y signo negativo en los cuadrantes II y III.
En la siguiente gráfica podemos ver cuando la función coseno toma valores negativos, positivos y cero.
Función tangente
La función tangente para un número real x es el cociente entre el seno y el coseno de dicho número. Es una función ilimitada, es decir, no está limitada por un intervalo como las funciones seno y coseno, pero es periódica.
Dominio
La función tangente existe si, y sólo si, cos(x) ≠ 0, entonces definimos el dominio de la función f(x) = tan(x) como:
D = {x ∈ R | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}
Imagen
La tangente de un número real x puede tomar cualquier valor, ya que la función tangente es ilimitada. Por lo tanto, la imagen de la función es:
Im = (-∞, +∞)
Es decir, puede tomar infinitos valores negativos o positivos.
Gráfico
Con algunos valores de la función, podemos construir el gráfico. La función tangente es infinita hacia arriba y hacia abajo, es decir, no está dentro de un intervalo. Es una función periódica, lo que significa que la porción principal de la curva se repite cada cierto período.
Período
El período de la función es π.
Paridad
La paridad de la función viene dada por tan(-x) = – tan(x). Por tanto, f(x) = tan(x) es impar.
Signo
En la circunferencia trigonométrica la función tangente tiene signo positivo en los cuadrantes I y III, y signo negativo en los cuadrantes II y IV.
En la gráfica siguiente podemos ver cuando la función toma valores negativos, positivos y cero.
