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Características de los Números Complejos

Características de los Números Complejos
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Los números complejos son números compuestos por una parte real y una imaginaria.

Estos representan el conjunto de todos los pares ordenados (a, b), cuyos elementos pertenecen al conjunto de los números reales.

caracteristicas de los numeros complejos

El conjunto de los números complejos está dado por:

C= {z ∈ C/z = a + bi con a, b ∈ R; i2= –1}

Características y propiedades

  • Es una extensión de los números reales.
  • Al conjunto de los números complejos se lo representa con la letra C.
  • Posee una parte real y una parte imaginaria.
  • Este conjunto es representado en el plano (plano complejo).

Operaciones

Sean z1=a + bi y z2=c + di dos números complejos se cumplen las siguientes propiedades:

Igualdad: z1=z2 ↔ (a, b) = (c, d) ↔ a = c y b = d

Adición: z1+z2=(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Ejemplo

z1=5 + 2i y z2=3 – i

z1+z2=(5 + 2i) + (3 – i) = (5 + 3) + (2 – 1)i=8+i

Multiplicación: z1.z2=(a + bi) . (c + di)= a.c + (a.d)i + (b.c)i + (b.d).i2, como i2= –1 entonces z1.z2= a.c + (a.d)i + (b.c)i – (b.d)= (a.c – b.d) + (a.d + b.c)i

Ejemplo

z1=5 + 2i y z2=3 – i

z1.z2=(5 + 2i) . (3 – i)= 5.3 + (5.(-1))i + (2.3)i – (2.(-1)).i2=15–5i+6i–2=13+i

División: z1/z2=(a + bi)/(c + di)=[(a + bi)/(c + di)] . [(c – di)/(c – di)]=(a.c – a.d.i + b.c.i + b.d)/(c2 – c.d.i + c.d.i + d2)=[(a.c + b.d) + (b.c – a.d)i]/(c2 + d2)

Ejemplo

z1=5 + 2i y z2=3 – i

z1/z2=(5 + 2i)/(3 – i)=[(5 + 2i)/(3 – i)] . [(3 + i)/(3 + i)]=(11i+13)/10=(11/10)i + 13/10

Unidad imaginaria (i)

Representado con la letra i, la unidad imaginaria es el par ordenado (0, 1) o lo que es lo mismo z=i, entonces i . i = –1 ↔ i2 = –1. Por lo tanto i = √–1 (raíz cuadrada de –1).

Forma algebraica de z

La forma algebraica de z se usa para representar a un número complejo a través de la siguiente fórmula.

z = a + bi   (se la llama forma binómica de z)

Donde a y b son números reales y además a=Re(z) y b=Im(z); es decir a es la parte real de z y b la parte imaginaria.

Conjugado de un número complejo

El conjugado de un número complejo está representado por z’, definido por z’= a – bi. En otras palabras, el conjugado de un número complejo se obtiene al cambiar el signo de su parte imaginaria.

Ejemplos

El conjugado de z=2+5i es z’=25i

El conjugado de z=3–i es z’=3+i

Valor absoluto o módulo

El valor absoluto o módulo representa longitud del número complejo y se calcula mediante la siguiente fórmula pitagórica.

/z/=√ [Re(z)]2 + [Im(z)]2 = √ a2 + b2

Ejemplo

Si z=3+4i entonces /z/=√ 32 + 42 = √ 9 + 16 = √25 = 5

Más propiedades

Sean z, v y w números complejos se cumplen las siguientes propiedades:

  • Propiedad conmutativa: z+w=w+z ; zw=wz
  • Propiedad asociativa: v+(w+z)=(v+w)+z ; v(wz)=(vw)z
  • Propiedad distributiva: v(w+z)=vw+vz ; (w+z)v=wv+zv
  • Elemento neutro: o para la suma  z+o=o+z=z y el 1 para la multiplicación ya que z1=1z=z
  • Inverso: todos los números complejos tienen su inverso aditivo que es –z ya que cumple que z+(-z)=0 y si z ≠0 entonces su inverso multiplicativo es z-1 ya que z.z-1=1.

Historia

El descubrimiento de los números complejos fue en el siglo XVI gracias a los aportes del matemático Gerolamo Cardano (1501-1576)

Sin embargo en el siglo XVIII esos estudios fueron formalizados por el matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Dicho descubrimiento significó un gran avance en la matemática ya que un número negativo podía tener una raíz cuadrada, lo que hasta ese momento era considerado imposible.