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Características de los Números Complejos

Los números complejos son números compuestos por una parte real y una imaginaria.

Estos representan el conjunto de todos los pares ordenados (a, b), cuyos elementos pertenecen al conjunto de los números reales.

caracteristicas de los numeros complejos

El conjunto de los números complejos está dado por:

C= {z ∈ C/z = a + bi con a, b ∈ R; i2= –1}

Definición

Formalmente, el número complejo z tiene la siguiente definición:

z = a + bi

En esta definición, a y b son números reales, e i = √(- 1). Esta es la forma algebraica de los números complejos, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.

unidad imaginaria

Características

  • Estos números son representados en el plano.
  • Se los puede representar como vectores o como puntos en el plano complejo.
  • Poseen una parte real (a) y otra imaginaria (b).
  • Usan el número i, que es la unidad imaginaria y se cumple que i²=-1
  • Corresponde a una extensión de los números reales.
  • Se los suele representar con la letra z.
  • Al conjunto de estos números se lo representa con la letra C.
  • Estos números no se pueden ordenar, a diferencia de lo que ocurre con los números reales en los que se puede establecer un orden.
  • Constituyen un cuerpo.

Ejemplos

  • z = 2 + 3i
  • z = 3 – 9i
  • z = 4
  • z = i

Operaciones

Sean z1=a + bi y z2=c + di dos números complejos se cumplen las siguientes propiedades:

Igualdad: z1=z2 ↔ (a, b) = (c, d) ↔ a = c y b = d

Adición: z1+z2=(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Ejemplo

z1=5 + 2i y z2=3 – i

z1+z2=(5 + 2i) + (3 – i) = (5 + 3) + (2 – 1)i=8+i

Multiplicación: z1.z2=(a + bi) . (c + di)= a.c + (a.d)i + (b.c)i + (b.d).i2, como i2= –1 entonces z1.z2= a.c + (a.d)i + (b.c)i – (b.d)= (a.c – b.d) + (a.d + b.c)i

Ejemplo

z1=5 + 2i y z2=3 – i

z1.z2=(5 + 2i) . (3 – i)= 5.3 + (5.(-1))i + (2.3)i – (2.(-1)).i2=15–5i+6i–2=13+i

División: z1/z2=(a + bi)/(c + di)=[(a + bi)/(c + di)] . [(c – di)/(c – di)]=(a.c – a.d.i + b.c.i + b.d)/(c2 – c.d.i + c.d.i + d2)=[(a.c + b.d) + (b.c – a.d)i]/(c2 + d2)

Ejemplo

z1=5 + 2i y z2=3 – i

z1/z2=(5 + 2i)/(3 – i)=[(5 + 2i)/(3 – i)] . [(3 + i)/(3 + i)]=(11i+13)/10=(11/10)i + 13/10

Unidad imaginaria (i)

Representado con la letra i, la unidad imaginaria es el par ordenado (0, 1) o lo que es lo mismo z=i, entonces i . i = –1 ↔ i2 = –1. Por lo tanto i = √–1 (raíz cuadrada de –1).

Forma algebraica de z

La forma algebraica de z se usa para representar a un número complejo a través de la siguiente fórmula.

z = a + bi   (se la llama forma binómica de z)

Donde a y b son números reales y además a=Re(z) y b=Im(z); es decir a es la parte real de z y b la parte imaginaria.

Conjugado de un número complejo

El conjugado de un número complejo está representado por z’, definido por z’= a – bi. En otras palabras, el conjugado de un número complejo se obtiene al cambiar el signo de su parte imaginaria.

Ejemplos

El conjugado de z=2+5i es z’=2–5i

El conjugado de z=3–i es z’=3+i

Valor absoluto o módulo

El valor absoluto o módulo representa longitud del número complejo y se calcula mediante la siguiente fórmula pitagórica.

/z/=√ [Re(z)]2 + [Im(z)]2 = √ a2 + b2

Ejemplo

Si z=3+4i entonces /z/=√ 32 + 42 = √ 9 + 16 = √25 = 5

Más propiedades

Sean z, v y w números complejos se cumplen las siguientes propiedades:

  • Propiedad conmutativa: z+w=w+z ; zw=wz
  • Propiedad asociativa: v+(w+z)=(v+w)+z ; v(wz)=(vw)z
  • Propiedad distributiva: v(w+z)=vw+vz ; (w+z)v=wv+zv
  • Elemento neutro: o para la suma  z+o=o+z=z y el 1 para la multiplicación ya que z1=1z=z
  • Inverso: todos los números complejos tienen su inverso aditivo que es –z ya que cumple que z+(-z)=0 y si z ≠0 entonces su inverso multiplicativo es z-1 ya que z.z-1=1.

Historia

El descubrimiento de los números complejos fue en el siglo XVI gracias a los aportes del matemático Gerolamo Cardano (1501-1576).

Este matemático demostró que incluso teniendo un término negativo en una raíz cuadrada era posible obtener una solución para la ecuación de segundo grado: x² + 4 = 0.

Esta contribución fue de gran importancia, porque hasta entonces los matemáticos no creían que fuera posible extraer la raíz cuadrada de un número negativo.

Sin embargo en el siglo XVIII esos estudios fueron formalizados por el matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Dicho descubrimiento significó un gran avance en la matemática ya que un número negativo podía tener una raíz cuadrada, lo que hasta ese momento era considerado imposible.

El conjunto de números complejos es el conjunto con la mayor cardinalidad, después de todo contiene todos los demás conjuntos.

Importancia

A pesar de haberse demostrado la existencia de números complejos, siguen siendo extraños para nosotros porque tienen menos relación con el mundo real que los otros números que ya conocemos. Un número imaginario no se usa para medir la cantidad de agua en un vaso o para contar el número de dedos que tenemos.

Sin embargo, hay algunas medidas en nuestro mundo donde los números imaginarios son medidores perfectos. Un campo electromagnético es un ejemplo: tiene un componente eléctrico y otro magnético, por lo que se necesitan un par de números reales para describirlo. Este par puede ser visto como un número complejo y encontramos, por lo tanto, tienen una aplicación directa en Física, para la extraña regla de multiplicación de números complejos.

Hay pocas aplicaciones directas de los números complejos en la vida diaria. Sin embargo, hay muchas aplicaciones indirectas.

Muchas propiedades de los números reales sólo se conocieron cuando fueron vistas como parte del Conjunto de los Números Complejos.