El conjunto de los números reales está formado por la unión entre el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales. Existen varias propiedades con respecto a los números reales, que son extensiones de las propiedades de los números racionales.
Esas propiedades están relacionadas con el orden de los números reales y con el estudio de las operaciones matemáticas básicas aplicadas a los elementos de ese conjunto.
La definición de estos números depende de las definiciones de los conjuntos de los números racionales e irracionales, que a su vez, dependen de la definición de los números enteros.
Características o propiedades de los números reales
El conjunto de los números reales es un conjunto completo.
Existe una relación entre el conjunto de los números reales y la recta numérica, que afirma lo siguiente: para cada número real existe uno y solo un punto que lo representa en la recta numérica.
Es posible mostrar que la recta no contiene ningún “agujero”. Por lo tanto el conjunto de los números reales es completo (esta ley se la conoce como Axioma de Completitud).
El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado.
En la recta numérica, si se comparan dos números reales cualesquiera, aquel que está más a la izquierda es menor que aquel que está más a la derecha. Además de eso, si están en el mismo punto, son iguales.
Axiomas de los números reales
Dados los números reales a, b y c, las siguientes propiedades operatorias son válidas:
Asociatividad:
a·(b·c) = (a·b)·c
a + (b + c) = (a + b) + c
Conmutatividad:
a·b = b·a
a + b = b + a
Existencia de elemento neutro único para la suma y para la multiplicación:
a + 0 = a
a·1 = a
Existencia de elemento inverso único para la suma y para la multiplicación:
a + (– a) = 0
a· (1/a) = 1
Distributividad:
a · (b + c) = a·b + a·c