Los polinomios son expresiones algebraicas formadas según la siguiente expresión:
P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0
Además, un polinomio está formado por letras, llamadas parte literal, y números, llamados coeficientes.
Ejemplo:
- 2x² + 3x + 1
- 4x³ – 3xy + 2x
- 5ab + 2a + 2
Definición de polinomio
Llamamos polinomio a una función P : R → R sobre la variable x que tiene la siguiente forma:
P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0
Donde:
- an, an – 1, … , a1 y a0 son los coeficientes del polinomio
- Los exponentes son números naturales.
Clasificación
Los polinomios se clasifican según la cantidad de términos:
- Monomio: un monomio es un polinomio de un solo término. Ej: 3x²
- Binomio: un binomio es un polinomio con sólo dos términos. Ej: 3x² + 2x
- Trinomio: un trinomio es un polinomio con tres términos. Ej: x³ + 2x² – 3
Así que, siguiendo la lógica, un polinomio está formado por varios términos.
Grado de los polinomios
El grado de un polinomio viene dado por el valor de su mayor exponente.
Sea P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0 un polinomio. Entonces, el grado de P(x) es igual a n, si an ≠ 0.
Observaciones:
Los polinomios constantes (salvo el cero), tienen grado cero.
Para los polinomios nulos el grado no está definido. Se considera que un polinomio es nulo cuando todos sus coeficientes son iguales a cero.
Raíz o cero de un polinomio
La raíz de un polinomio P(x) es un número n tal que P(n) = 0
La raíz o el cero del polinomio es cualquier número que satisface esta igualdad.
Operaciones con polinomios
A continuación se explica cómo realizar las cuatro operaciones aritméticas básicas con polinomios.
Suma
La suma de dos o más polinomios se realiza sumando los coeficientes de los términos en los que coincide el grado.
Resta
La resta de dos o más polinomios se realiza de la misma manera, restando los coeficientes de los términos en los que coincide el grado.
Multiplicación
La multiplicación se realiza utilizando la propiedad distributiva de la multiplicación. Así, se multiplican los coeficientes de los términos y se conserva la variable, si la hay, y se suman los exponentes.
División
En la división de polinomios utilizaremos un método conocido como el algoritmo de división. Consiste en dividir dos polinomios A(x) y B(x), ambos distintos de cero. En esta división obtenemos los polinomios Q(x), el cociente, y R(x), el resto.
A(x)=B(x).Q(x)+R(x) (fórmula del algoritmo de división)
Donde:
- A(x): es el dividendo
- B(x): es el divisor
- Q(x): es el cociente
- R(x): es el resto