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Características de los Vectores

Características de los Vectores
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Un vector es un ente matemático que representa el conjunto de los segmentos orientados de recta que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Representación de los Vectores

Se representa el vector AB como un segmento orientado de recta que tiene origen en A y extremo en B. La longitud de ese segmento representa el módulo del vector en una escala de representación gráfica.

caracteristicas de los vectores

Si el vector AB representa una cantidad vectorial, se puede usar la notación v (en la que se usa la letra que representa la cantidad con una flecha arriba), siendo la flecha siempre horizontal y apuntando hacia la derecha.

Características de los Vectores

  • Módulo o norma: El módulo o norma de un vector es la medida de dicho vector.
  • Dirección: la dirección es la recta sobre el cual está ubicado el segmento orientado (vector) que lo representa.
  • Sentido: el sentido de un vector indica hacia donde apunta su extremo.

Vectores Equipolentes

Se dice que dos vectores o más son equipolentes si sus módulos, sentidos y direcciones son iguales, es decir los vectores son equivalentes entre sí.

Sin embargo cuando por lo menos una de las características citadas anteriormente es diferente, decimos que los vectores son diferentes.

Vectores Opuestos

Se llama vector opuesto de un vector A al vector –A, es decir es el vector que posee el mismo módulo, la misma dirección y distinto sentido.

Operaciones con Vectores

Suma: sean v y w dos vectores, v=(a1,a2); w=(b1,b2) se define:

v+w=(a1+b1,a2+b2)

Producto de un Vector por un Escalar: sean v y w dos vectores v=(a1,a2); se define el producto por un escalar k (número real) de la siguiente manera:

k.v=(ka1,ka2)

Producto entre Vectores (Producto Escalar):

Sean v y w dos vectores, v=(a1,a2); w=(b1,b2) se define el producto escalar así:

v.w=a1.b1+a2.b2

Propiedades de los Vectores

Sean u, v y w tres vectores arbitrarios se cumplen las siguientes propiedades:

  • Conmutatividad: u+v=v+u
  • Asociatividad: (u+v)+w=u+(v+w)
  • Elemento Neutro: Es el vector 0=(0,0) y se cumple que 0+v=v para cualquier vector v.
  • Elemento Inverso: Es el vector –v y siempre se cumple que v+(-v)=0

Propiedades del Producto por un Escalar

Sean k, k1, k2 escalares y u y v vectores se cumplen las siguientes propiedades:

  • Distributividad con la suma de vectores: k.(u+v)=k.u+k.v
  • Distributividad con la suma de escalares: (k1+k2).v=k1.v+k2.v
  • Asociatividad: (k1.k2).v=k1.(k2.v)
  • k=1 es el elemento neutro, o sea que 1.v=v
  • Si k=0 entonces 0.v=0 para todo vector v

Módulo de un Vector

Sea u=(u1,u2) un vector, el módulo de u se calcula aplicando la siguiente fórmula:

módulo de un vector

 

 

 

 

Ángulo entre Vectores

Sean u y v vectores, el ángulo α (ángulo comprendido entre ambos vectores) se calcula despejando α de la siguiente fórmula:

ángulo entre vectores