Un vector es un ente matemático que representa el conjunto de los segmentos orientados de recta que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.
Representación de los Vectores
Se representa el vector AB como un segmento orientado de recta que tiene origen en A y extremo en B. La longitud de ese segmento representa el módulo del vector en una escala de representación gráfica.
Si el vector AB representa una cantidad vectorial, se puede usar la notación v (en la que se usa la letra que representa la cantidad con una flecha arriba), siendo la flecha siempre horizontal y apuntando hacia la derecha.
Características de los Vectores
- Módulo o norma: El módulo o norma de un vector es la medida de dicho vector.
- Dirección: la dirección es la recta sobre el cual está ubicado el segmento orientado (vector) que lo representa.
- Sentido: el sentido de un vector indica hacia donde apunta su extremo.
Vectores Equipolentes
Se dice que dos vectores o más son equipolentes si sus módulos, sentidos y direcciones son iguales, es decir los vectores son equivalentes entre sí.
Sin embargo cuando por lo menos una de las características citadas anteriormente es diferente, decimos que los vectores son diferentes.
Vectores Opuestos
Se llama vector opuesto de un vector A al vector –A, es decir es el vector que posee el mismo módulo, la misma dirección y distinto sentido.
Operaciones con Vectores
Suma: sean v y w dos vectores, v=(a1,a2); w=(b1,b2) se define:
v+w=(a1+b1,a2+b2)
Producto de un Vector por un Escalar: sean v y w dos vectores v=(a1,a2); se define el producto por un escalar k (número real) de la siguiente manera:
k.v=(ka1,ka2)
Producto entre Vectores (Producto Escalar):
Sean v y w dos vectores, v=(a1,a2); w=(b1,b2) se define el producto escalar así:
v.w=a1.b1+a2.b2
Propiedades de los Vectores
Sean u, v y w tres vectores arbitrarios se cumplen las siguientes propiedades:
- Conmutatividad: u+v=v+u
- Asociatividad: (u+v)+w=u+(v+w)
- Elemento Neutro: Es el vector 0=(0,0) y se cumple que 0+v=v para cualquier vector v.
- Elemento Inverso: Es el vector –v y siempre se cumple que v+(-v)=0
Propiedades del Producto por un Escalar
Sean k, k1, k2 escalares y u y v vectores se cumplen las siguientes propiedades:
- Distributividad con la suma de vectores: k.(u+v)=k.u+k.v
- Distributividad con la suma de escalares: (k1+k2).v=k1.v+k2.v
- Asociatividad: (k1.k2).v=k1.(k2.v)
- k=1 es el elemento neutro, o sea que 1.v=v
- Si k=0 entonces 0.v=0 para todo vector v
Módulo de un Vector
Sea u=(u1,u2) un vector, el módulo de u se calcula aplicando la siguiente fórmula:
Ángulo entre Vectores
Sean u y v vectores, el ángulo α (ángulo comprendido entre ambos vectores) se calcula despejando α de la siguiente fórmula:
